無限ホテル：デイビッド・ヒルベルトによる無限についての思考実験

概要

本記事では、ドイツの数学者デイビッド・ヒルベルトによる有名な思考実験について、無限という概念を説明する試みを行います。それは、無限の部屋を持つ無限のホテルと、無限の数の客を収容する夜勤マネージャーが登場するものです。夜勤マネージャーが素数に基づくユニークな部屋割りを使用して、無限の数のバスに乗ってくる無限の数の乗客を収容する方法を説明します。最後に、夜勤マネージャーの仕事が安全である理由は、上司が数学が苦手だったためです。

無限ホテルの思考実験

デイビッド・ヒルベルトの無限ホテルは、無限という概念を探求する思考実験です。ホテルには無限の部屋があり、それぞれに客が滞在しています。新しい客が到着すると、夜勤マネージャーはホテルがいっぱいだと伝えますが、まだ収容できると説明します。夜勤マネージャーは、部屋1の客に部屋2に移動してもらい、部屋2の客に部屋3に移動してもらい、以降、部屋1を新しい客に空けます。

この戦略は、無限の数の客に対しても繰り返すことができます。無限の数のバスが到着し、それぞれに無限の数の乗客がいる場合、夜勤マネージャーは素数に基づくユニークな部屋割りを使用して、すべての乗客を収容することができます。

ユニークな部屋割りの方法

無限ホテルの夜勤マネージャーは、ユニークな部屋割りの方法を使用して、無限の数の客を収容します。たとえば、無限の数のバスが到着し、それぞれに無限の数の乗客がいる場合、夜勤マネージャーは素数に基づいて乗客を部屋に割り当てることができます。最初のバスの乗客は、2、3、5、7、11などの部屋に割り当てられます。2番目のバスの乗客は、13、17、19、23、29などの部屋に割り当てられます。これにより、各客にユニークな部屋が割り当てられ、2人の客が同じ部屋に割り当てられることはありません。

可算無限と高次の無限

無限ホテルの夜勤マネージャーの戦略は、自然数の可算無限に対処するために可能です。実数などの高次の無限は、これらの戦略を不可能にします。実数の無限ホテルには、地下に負の番号の部屋、分数の部屋、特別な要望のある部屋があります。ヒルベルトの無限ホテルで夜勤マネージャーが直面するシナリオは、私たちの有限な思考が無限の概念を理解するのがどれだけ難しいかを思い起こさせます。

結論

デイビッド・ヒルベルトの無限ホテルは、無限の概念に対する私たちの理解を問いかける魅力的な思考実験です。夜勤マネージャーのユニークな部屋割りの方法は、可算無限を操作して無限の数の客を収容することを示しています。ただし、高次の無限には、私たちの有限な思考にとって理解が難しい新しい課題があります。ヒルベルトの無限ホテルでの夜勤マネージャーの仕事は安全ですが、上司が数学が苦手だったためです。