コイン投げの確率：なぜウィルバー・ライトは不利だったのか

要約

本記事では、コイン投げの確率が競技の結果に影響を与えることを探求します。ライト兄弟が誰が最初に飛行機を飛ばすかを決めるためにコインを投げた例を用い、競技のルールがより複雑だった場合に何が起こるかを検討します。私たちは、オーヴィルが2回連続でヘッズが出た場合に勝利し、ウィルバーがヘッズの直後にテールが続く場合に勝利する競技で、コイン投げの確率によりウィルバーが不利であることを発見します。

ライト兄弟のコイン投げ

ライト兄弟が新しい飛行機を砂丘から飛ばす誰が飛ばすかを決めるためにコインを投げた時、彼らは公平であることを望んでいました。ヘッズとテールの出る確率が等しいため、結果は偏りがないと信じていました。しかし、より複雑な競技があった場合はどうでしょうか？オーヴィルが自分のコインで2回連続でヘッズが出た場合に勝利し、ウィルバーが自分のコインでヘッズの直後にテールが続く場合に勝利するように、コインを何度も投げる場合はどうなるでしょうか？それぞれの兄弟が最初に飛行する機会が同じ確率であったでしょうか？

コイン投げの確率

最初は、兄弟たちはまだ同じ勝利のチャンスがあると思われます。2回連続でのコイン投げには4つの組み合わせがあり、コインを2回投げる場合、それぞれが出る確率は同じで25％です。したがって、コイン投げの任意の文字列では、各組み合わせが同じ可能性で最初に表示されると思われるかもしれません。残念ながら、それは間違っています。ウィルバーは実際にこの競技で大きな優位性を持っています。

ヘッズ・テールのボード

コイン投げのシーケンスを、各投げでどのパスを取るかを決定するボードゲームのように想像してみましょう。目的は、スタートからゴールまで到達することです。ヘッズ・テールのボードは次のようになります。

そして、ヘッズ・ヘッズのボードは次のようになります。

平均フリップ数の計算

確率と代数を使用して、各組み合わせを取得するために必要な平均フリップ数を計算することで、これが真実であることを示すことができます。ヘッズ・テールのボードを開始し、xを1つのステップを進めるために必要な平均フリップ数と定義します。矢印に集中してください。それには2つの同一のステップがあり、それぞれがその場にとどまるか前進するかの50-50のチャンスがあります。

オプション1：テールでその場にとどまる場合、1回のフリップを無駄にします。同じ場所に戻ったので、平均して、1つのステップを進めるためにx回以上フリップする必要があります。最初のフリップと合わせて、これにより平均x + 1回の合計フリップで1つのステップを進めることができます。

オプション2：ヘッズを取得して前進する場合、1つの合計フリップで1つのステップを進めることができます。

これらのオプション1とオプション2を、それぞれの確率と組み合わせて次の式を得ることができます。

x = 0.5(x+1) + 0.5(1)

これをxについて解くと、2つのステップを進めるために4回のフリップが必要であることがわかります。各ステップが同じであるため、2倍して、2つのステップを進めるために4回のフリップが必要であることがわかります。

ヘッズ・ヘッズの場合、状況は単純ではありません。今回は、yを開始から終了までの平均フリップ数と定義します。最初の移動には2つのオプションがあり、それぞれが50-50の確率であります。

オプション1は前回と同じで、テールを取得してスタートに戻ると、y + 1回の平均フリップで終了することになります。

オ