白亜紀の円錐：中世ドイツ都市が新しい数学分野の発展を促した物語

要約

本記事では、中世ドイツ都市コニスベルクの橋に関する些細な謎が、新しい数学分野の発展を促した物語を探求します。数学者カール・ゴットリーブ・エーレとレオンハルト・オイラーがこの問題に取り組み、当時存在しなかった幾何学の一種であるグラフ理論を発明した過程について掘り下げます。

コニスベルクの橋

コニスベルクは、プレーゲル川の両岸に位置する中世ドイツ都市で、中央に二つの大きな島がありました。これらの島と河岸をつなぐ橋は7つありました。数学者カール・ゴットリーブ・エーレはこれらの島と橋に夢中になり、どのルートで橋を一度しか渡らずに全ての橋を渡れるかという問題を提起しました。この見かけによらない謎が新しい数学分野の誕生につながることになります。

グラフ理論の誕生

エーレは、この問題について数学者レオンハルト・オイラーに助けを求めました。オイラーは当初、この問題が数学とは何の関係もないと考えていましたが、問題に取り組んでいくうちに、何か新しい発見があるかもしれないと気づきました。彼は、まだ完全に存在していなかった一種の幾何学、位置の幾何学と呼ばれるものに関する解決策を思いつき、これが後のグラフ理論として知られるようになりました。

次数の重要性

オイラーの最初の洞察力は、島や河岸に入るときと出るときのルートは実際には重要ではないということでした。つまり、地図を単純化して、4つの陸地をそれぞれ1つの点、つまり今日のノードと呼ばれるもので表し、橋を表す線またはエッジをそれらの間に引くことができるということでした。この単純化されたグラフを見ると、各ノードの次数（陸地に接する橋の数）を簡単に数えることができます。

オイラー路の二つのシナリオ

なぜ次数が重要なのでしょうか？この問題のルールによると、旅行者が1つの橋で島に到着した場合、別の橋を通って島を出る必要があります。つまり、任意のルートの各ノードに接続する橋は異なるペアである必要があり、訪れた各陸地に接する橋の数は偶数である必要があります。グラフを見ると、4つのノードすべてが奇数次数であることが明らかになります。したがって、どのルートを選択しても、いずれの時点か必ず橋を2回渡る必要があります。オイラーはこの証明を用いて、2つ以上のノードがあるすべてのグラフに適用される一般理論を形成しました。

コニスベルクの問題の解決

では、コニスベルクでオイラー路を作るにはどうすればよいでしょうか？簡単です。どの橋か1つ取り除くだけです。そして、歴史は自らオイラー路を作り出しました。第一次世界大戦中、ソビエト空軍は都市の2つの橋を破壊し、オイラー路を作ることが簡単になりました。しかし、公平を期すために言えば、それは彼らの意図ではなかったでしょう。これらの爆撃はコニスベルクをほぼ壊滅させ、後にロシアのカリーニングラード市として再建されました。

結論

コニスベルクの橋はもはや存在しませんが、この見かけによらない謎が新しい数学分野の誕生につながり、歴史の中で記憶されています。この問題は、コンピューターサイエンス、ソーシャルネットワーク、交通計画など、さまざまな分野で応用されるグラフ理論の誕生を促しました。時には、最も予想外の問いが画期的な発見につながることがあるということを示しています。