群論がルービックキューブをピアノのように演奏するのを助ける方法

概要

この記事では、抽象的な数学分野である群論が、ルービックキューブを解決し、さらにはピアノのように演奏するのにどのように役立つかを探求します。群とは、特定の規則や公理に従う要素の集合です。これらの公理をルービックキューブに適用することで、解析し、解決の結果につながる置換のシーケンスを決定することができます。また、群論は音楽でも使用され、コード進行を操作し、調和のとれた音を作り出します。

群とは何か？

数学において、群とは特定の規則や公理に従う要素の集合です。整数の集合、ルービックキューブの面、または他のオブジェクトの集合などが群となります。

群の公理

群を定義する4つの公理があります。

全ての群の操作は、群の要素に制限されるか、または閉じています。つまり、群内の要素に対して行われる操作は、別の群の要素に結果がなければなりません。
単一の群操作を行う場合、括弧をどこに置いても同じ結果が得られます。つまり、操作を行う順序は関係ありません。
すべての操作に対して、恒等元と呼ばれる群の要素があります。これを他の群の要素に適用しても、元の要素が得られます。
すべての群要素には、群内にある逆元があります。2つの要素を群の加算操作で結合すると、恒等元が得られるため、それらは互いに打ち消し合うと考えることができます。

ルービックキューブを解決するための群論の利用

群の公理をルービックキューブに適用することで、解析し、解決の結果につながる置換のシーケンスを決定することができます。ルービックキューブは、すべての公理を満たす群であり、要素や操作がより多くなります。各面の各行と列を回転させることができ、各位置は置換と呼ばれます。ルービックキューブには43京以上の置換がありますので、ランダムに解決しようとしてもうまくいきません。しかし、群論を使用することで、解決の結果につながる置換のシーケンスを決定することができます。

音楽における群論

群論は音楽にも深く根付いています。コードを視覚化する方法の1つは、12の音符をすべて書き出し、その中に正方形を描くことです。どの音から始めてもかまいませんが、上部のCを使用しましょう。得られるコードは減7のコードと呼ばれ、これらの4つの音符が要素である群です。操作できるのは、下部の音符を上部に移動することです。音楽では、これを反転と呼び、以前の加算の相当です。各反転はコードの音色を変えますが、C減7でなくなることはありません。作曲家は、反転を使用してコードのシーケンスを操作し、ブロックや不自然な進行を回避します。

結論

群論は、ルービックキューブを解決し、音楽で調和のとれた音を作り出すために実用的な数学分野です。群の公理を理解することで、ルービックキューブや音楽のコードなど、さまざまな要素や操作に適用することができます。パズル解決者であろうと、音楽家であろうと、群論はルービックキューブをピアノのように演奏するのを助けることができます。