秤だけで偽造コインを見分ける方法：数学者のガイド

要約

皇帝の税法を批判したことで地下牢に閉じ込められた王国最大の数学者が、天秤、12枚のコイン、マーカーだけを使って偽造コインを見分けるように指示される。数学者は、厳しい3回の計量制限に従いながら、戦略的な計量とマーキングを使用して、偽造コインを見分け出さなければならない。

コインを山に分ける

与えられたリソースで偽造コインを見分けるために、数学者はまず、12枚の見た目が同じコインを4つずつ3つの等しい山に分ける必要がある。そのうち2つの山を天秤の両側に置き、数学者は次の2つの可能性のうちの1つを観察する。

両側が釣り合う場合、天秤の上のすべてのコインが本物であり、偽物は残りの4枚の中にある必要がある。数学者は、残りの8枚の本物のコインに0のマークを付けて、マークされていないコインと区別する。
両側が釣り合わない場合、数学者は重い方の側のコインにプラス記号（+）、軽い方の側のコインにマイナス記号（-）を付け、残りの4枚のコインはマークされない。

マーキングで結果を絞り込む

次に、数学者は、マークされていない8枚のコインのうち3枚を取り、マークされたコインのうち3枚と比較する。釣り合う場合、残りのマークされていないコインが偽物である必要がある。釣り合わない場合、数学者はプラスまたはマイナスで3枚のマークされていないコインをマークし、残りのマークされていないコインが偽造品である。

次に、数学者は、新たにマークされたコインのうち2枚を取り、互いに比較する。釣り合う場合、3枚目のコインが偽物である。プラス記号が付いている場合、重い方が偽物であり、マイナス記号が付いている場合、軽い方が偽物である。

不均衡な計量結果の扱い方

しかし、最初に計量した2つの山が釣り合わない場合はどうすればよいのだろうか？数学者は、重い方のコインにプラス記号、軽い方のコインにマイナス記号を付けるべきである。偽造コインはすでに天秤のどこかにあるため、残りの4枚のコインは0でマークすることができる。

マークされたコインを再構成し、3枚のプラスコインを3枚のマイナスコインに置き換え、それらをマークされていない3枚のコインに置き換えることができる。天秤は3つの可能な結果のうち1つを提供する。

以前に重かった側がまだ重い場合、その側の残りのプラスコインが偽物であるか、軽い側の残りのマイナスコインが偽物である。数学者は、どちらかを通常のコインの1枚と比較して、偽物であることを確認することができる。
以前に重かった側が軽くなった場合、3枚のマイナスコインのうち1枚が偽物である。数学者は、2枚のマイナスコインを互いに比較し、軽い方が偽物である。
置換後、両側が釣り合う場合、削除した3枚のプラスコインのうち1枚が重い偽物である。数学者は、2枚のプラスコインを互いに比較し、重い方が偽物である。