無限ホテル：無限を考える思考実験

概要

本記事では、David Hilbertが提唱した無限の部屋を持つ無限ホテルの思考実験を通じて、無限の概念を探求します。ホテルの夜勤マネージャーは、現在宿泊している客を次の部屋に移動させ、最初の部屋を空けることで、無限の数の客を宿泊させることができます。このような、不可能に思われる課題にもかかわらず、夜勤マネージャーは仕事を続け、ホテルのビジネスは繁栄し続けます。また、異なる無限のレベルについても議論し、それらが夜勤マネージャーの戦略に与える影響についても考察します。

無限ホテルとその戦略

David Hilbertの無限の部屋を持つ無限ホテルの思考実験では、夜勤マネージャーは無限の数の客を宿泊させる課題に直面します。マネージャーの戦略は、現在宿泊している客を次の部屋に移動させ、最初の部屋を空けることです。これにより、常に空いている部屋があるため、無限の数の新しい客を受け入れることができます。

しかし、無限の数のバスが到着し、それぞれに無限の数の乗客がいる場合、夜勤マネージャーは独自の部屋割り当てスキームを考案して、すべての客を収容することができます。彼は、現在の客を、彼らが宿泊している部屋番号の2乗である最初の素数である2に割り当てます。そして、各バスの乗客を、次の素数の累乗に割り当てます。これにより、すべての乗客を収容することができますが、一部の部屋が空いてしまう可能性があります。

無限ホテルでの夜勤マネージャーの戦略は、自然数の数え上げ可能な無限であるアレフ・ゼロという最も低いレベルの無限を扱うために可能です。実数などの高次元の無限では、これらの戦略は不可能になります。実数の無限ホテルには、負の数の部屋が地下にあり、分数の部屋や特別な要求を持つ部屋があり、管理が困難な場所となっています。

異なる無限のレベル

無限の概念は、異なるレベルの無限が存在するため理解することが難しいです。自然数の数え上げ可能な無限であるアレフ・ゼロは、最も低いレベルの無限です。無限ホテルが扱うのはこのレベルの無限であり、夜勤マネージャーが独自の部屋割り当てスキームを考案することが可能になります。

しかし、円周率や2の平方根などの無理数を含む、数直線上のすべての数を含む実数などの高次元の無限も存在します。実数の無限ホテルには、負の数の部屋が地下にあり、分数の部屋や特別な要求を持つ部屋があり、夜勤マネージャーが無限ホテルで使用する戦略を使用することが不可能になります。

結論

David Hilbertの無限の部屋を持つ無限ホテルの思考実験は、有限な私たちの思考が無限の概念を理解するのがどれだけ難しいかを示しています。無限ホテルでの夜勤マネージャーの戦略は、自然数の数え上げ可能な無限であるアレフ・ゼロを扱うために可能です。実数などの高次元の無限では、これらの戦略は不可能になります。無限ホテルとその戦略は、異なるレベルの無限とそれらがもたらす課題を強調しています。