無限の不思議：数え方の謎を探る魔法の世界

要約

このブログ記事は、無限の概念とその異なる形式を探求します。著者は例を用いて、異なる無限の要素のセットを一致させることで、その大きさの同等性を証明する方法を説明しています。記事はまた、繰り返しのない小数で表され、それ自体が無限である無理数の概念にも深く踏み込んでいます。最後に、数学には答えがない問題があることが驚くべき事実として明らかにされます。

無限のセットにおける大きさの同等性の概念

著者は、4年生の時に、教師が「偶数と数字自体の数は同じだ」と主張したことに最初は混乱しました。しかし、教師は、2つのセットの要素を1つずつ対応させることでこの概念を示すことができました。この大きさの同等性を見つける方法は、数えるよりも基本的な方法であり、古代人々は、羊を石で対応させることでこの方法を使用していました。

全ての分数と無理数のリストを作成する

著者は、ジョージ・カントールが19世紀末に開発した巧妙な技術を説明して、全ての分数のリストを作成する方法を説明しています。しかし、繰り返しのない小数で表される無理数の数は有理数よりも多く、全ての小数のリストを作成することはできません。そのため、異なる大きさの無限が存在することになります。これは最初、多くの数学者にとって不快なアイデアであり、カントールは公衆から悪口を受けました。

連続体仮説とその解決

カントールは、有理数と実数の無限のセットの間に異なる大きさの無限が存在することを予想しました。しかし、連続体仮説は20世紀まで解決されませんでした。クルト・ゲーデルとポール・J・コーンは、完全に予想外かつパラダイムシフトをもたらす方法で、それを解決しました。彼らは、数学には答えがない問題があることを証明しました。これは驚くべき発見です。