無理数の謎：ヒッパソスと彼の発見の物語

概要：

この記事は、無理数の存在を発見したピタゴラス派の数学者であるヒッパソスの物語を語っています。彼は、整数の比率として表現できない特定の数が存在することに気づき、その発見は数学の革命を引き起こしました。この記事では、ヒッパソスが発見に至った経緯、彼の発見の意義、そして彼の業績が現代数学に与える影響について説明しています。

ヒッパソスとは？
ピタゴラス派の数学者とは？
数に関する彼らの信念とは？
ヒッパソスの発見とは？
彼はどのようにしてこの発見に至ったのか？
無理数の意義とは？
無理数をプロットするには？
ヒッパソスの発見が現代数学に与える重要性とは？
結論

ヒッパソスとは？

ヒッパソスは、古代ギリシャに生きた哲学者であり数学者でした。彼は、数とその性質に夢中になっていた学者のグループであるピタゴラス派の数学者の一員でした。

ピタゴラス派の数学者とは？

ピタゴラス派の数学者は、万物は数であると信じる宗教的な派閥でした。彼らは、数が宇宙の構成要素であり、すべてを数の比率で説明できると確信していました。

数に関する彼らの信念とは？

ピタゴラス派は、宇宙のすべてが数の比率として表現できる永遠の法則に従うと信じていました。彼らは、どの数も、分数部分を持たない整数の比率として表現できると信じていました。

ヒッパソスの発見とは？

ヒッパソスは、特定の数が整数の比率として表現できないことを発見しました。これらの数は、分数として表現できないため、無理数と呼ばれます。

彼はどのようにしてこの発見に至ったのか？

ヒッパソスは、一辺が1ユニットの正方形という単純な形から始めました。彼は、その対角線の長さである2の平方根を整数の比率として表現しようとしました。しかし、どのように試みても、これを整数の比率として表現することができませんでした。彼は諦めず、それができないことを証明することに決めました。

彼は、ピタゴラス派の世界観が真実であり、2の平方根が整数の比率として表現できると仮定しました。彼は、これらの仮想的な整数をpとqとラベル付けしました。2の平方根が有理数ではないことを証明するには、p/qが存在しないことを証明するだけでした。そこで、彼は方程式の両側にqを掛け、両側を2乗しました。これにより、pの2乗が偶数でなければならなかった方程式が得られました。pが奇数であれば、これは真ではありませんでした。したがって、pも偶数であることがわかりました。pを2aと表すことができるため、これを方程式に代入し、簡略化すると、qの2乗は2aの2倍であることがわかります。再び、2をかけた数は偶数であるため、qの2乗は偶数でなければならず、qも偶数であることがわかります。しかし、それが真である場合、pとqには共通の因子2があるため、最初の主張と矛盾します。そして、それがヒッパソスがそのような比率が存在しないと結論付けた方法です。