楽器を見つける確率を最大化する：ドラマーの戦略

要約

本記事では、楽器を失くしたバンドが大きなコンサート前にそれらを見つける必要がある問題について説明します。彼らは1つの楽器が入った10個の箱を持ち、バスに戻される前に5つの箱を開けることができます。自分たちの楽器を見つける確率は50％で、バンドメンバーは絶望的です。しかし、ドラマーが考え出した戦略は35％以上の成功率を持っており、それに従うことで、すべてのバンドメンバーが自分たちの楽器を取り戻しました。戦略を詳しく説明し、より多くのミュージシャンのグループにおける成功率を探求します。

絶望的な状況：失われた楽器を見つける

本記事で紹介するシナリオは、ツアー中に楽器を失ったバンドのものです。組織力の欠如により、楽器が紛失し、バンドマネージャーは窓のない音響室に10個のランダムに配置された箱を置き、それぞれが1つの楽器を含んでいると言います。バンドは、その夜のコンサート前に自分たちの楽器を見つけなければならず、3分以内に計画を立てる必要があります。バスに戻る前に、5つの箱だけを開けることができます。

自分たちの楽器を見つける確率は50％で、バンドは絶望的です。この方法で10人全員が自分たちの楽器を見つける確率は1000分の1以下です。

ドラマーの有効な戦略

バンドのドラマーは、35％以上の成功率を持つ独創的な戦略を考案しました。戦略は、各ミュージシャンが自分の楽器にマッチする箱から始まり、実際にそれを含んでいる箱で終わる連結されたシーケンスをたどることです。進めば、最初に戻ってループを作成します。

たとえば、箱が次のように配置されている場合：

箱1：ベース
箱2：ドラム
箱3：キーボード
箱4：ギター
箱5：マイク
箱6：ベース
箱7：ギター
箱8：ベース
箱9：キーボード
箱10：マイク

成功率を計算する方法

成功率を計算するには、5つ以下のループの数を数える必要があります。これは、バンドメンバーがバスに戻る前に5つの箱だけを開けることができるためです。4つの楽器があり、各ミュージシャンに許される推測回数が2回以下である場合を考えてみましょう。図形を使用して、区別できる異なるループの数を見つけることができます。

各角に楽器を置き、対角線を引いて、ユニークなループの数を数えます。異なる始点から始まる2つのループは同じと見なされます。4つの楽器と2回以下の推測回数が許される場合、6つのユニークな4つの箱のループがあります。

三角形を使用して、8つの異なる3つの箱のループを視覚化できます。省略する楽器によって4つの可能な三角形があり、それぞれに2つの異なるパスがあります。24の可能な箱の組み合わせがあり、そのうち14は失敗につながり、10は成功します。

ミュージシャンの数が偶数の場合、成功率を計算するために便利な方程式を使用できます。10人の場合、成功率は約35％です。ミュージシャンの数が増えるにつれて、成功率は約30％に近づきます。

戦略を一般化する

この戦略は、より多くのミュージシャンのグループにも適用できるように一般化することができます。成功率は、ループの箱の数と各ミュージシャンが許される最大の箱の数に依存します。自分の楽器にマッチする箱から始まり、実際にそれを含んでいる箱で終わる連結されたシーケンスをたどることで、各ミュージシャンは検索スペースを減らし、成功率を高めることができます。