数学を永遠に変えたパラドックス

要約

本記事では、オーストリアの論理学者クルト・ゲーデルの発見によって数学が根本的に変化したことについて説明します。数学的証明の限界と論理的議論の構成要素である公理について探求します。ゲーデルがコーディングを使用して最初の自己言及的な数学的陳述を作成し、不完全性定理に至った経緯について説明します。この定理は、一定の公理集合内で証明不可能な新しい数学的陳述のクラスを導入し、数学を使用して完全に完全なシステムを作成することが不可能であることを示しました。

数学的証明の限界

証明とは、数に関する陳述が真である理由を示す論理的な議論です。最も複雑な証明から基本的な算術まで、数学に基づくすべてのシステムは公理から構築されます。そして、数に関する陳述が真である場合、数学者は公理的な証明によってそれを確認できるはずです。古代ギリシャ以来、数学者はこのシステムを使用して、数学的主張を完全に確実に証明または反証してきました。

論理的議論の構成要素：公理

論理的議論の構成要素は公理と呼ばれ、数に関する否定できない陳述です。数学に基づくすべてのシステムは公理から構築されます。数に関する陳述が真である場合、数学者は公理的な証明によってそれを確認できるはずです。

クルト・ゲーデルの発見

20世紀初頭には、新しく発見された論理的パラドックスが数学の確実性を脅かしていました。著名な数学者たちは、数学に矛盾がないことを証明することを熱望していました。ゲーデル自身はそうは思っていませんでしたし、数学がこの問題を調査するための適切なツールであるという自信もありませんでした。

最初の自己言及的な数学的陳述

言葉で自己言及的なパラドックスを作成することは比較的簡単ですが、数値は通常自分自身について話しません。数学的陳述は単に真または偽です。しかし、ゲーデルはアイデアを持っていました。彼は数学的な陳述や方程式をコード化された数値に変換し、複雑な数学的アイデアを単一の数値で表現できるようにしました。これにより、これらの数値で書かれた数学的陳述が数学のコード化された陳述についても何かを表していることになります。この方法により、「この陳述は証明できない」という方程式を書くことができ、最初の自己言及的な数学的陳述を作成しました。

ゲーデルの不完全性定理

彼をインスパイアした曖昧な文とは異なり、数学的な陳述は真または偽でなければなりません。では、どちらでしょうか？偽であれば、その陳述には証明があることを意味します。しかし、数学的な陳述には証明がある場合、それは真でなければなりません。この矛盾は、ゲーデルの陳述が偽であることはできないということを意味し、したがって、「この陳述は証明できない」ということが真であるということを意味します。しかし、この結果はさらに驚くべきものであり、それは数学の真の方程式が、証明できないと主張するものであるということを意味します。この発見は、ゲーデルの不完全性定理の核心にあり、完全に証明できない真の陳述の新しいクラスを導入します。ゲーデルのパラダイムでは、陳述は依然として真または偽であり、一定の公理集合内で証明可能または証明不可能です。さらに、ゲーデルは、これらの証明できない真の陳述がすべての公理的システムに存在すると主張しています。これにより、数学を使用して完全に完全なシステムを作成することが不可能であるため、常に証明できな