数学は発明なのか発見なのか？

要約

本記事では、数学が発明なのか発見なのかという古くからの問いについて探究します。数学的な概念が理論的なアイデアの霊的な表現であると主張する人もいれば、数学は宇宙の母語であり、私たちがその真実を発見する前から存在していると信じる人もいます。古代哲学者、数学者、科学者たち、ピタゴラス派、プラトン、ユークリッド、レオポルト・クロネッカ、デビッド・ヒルベルト、アンリ・ポアンカレ、ユージン・ウィグナーの見解とその議論への貢献について検討します。また、純粋な数学理論が宇宙がどのように機能するかを説明するために必要な枠組みであることを示す例も提供します。

ピタゴラス派とプラトンの数学観
ユークリッドと数学法則の物理的な現れ
レオポルト・クロネッカによる自然数の創造者である神への信仰
デビッド・ヒルベルトによる数学の公理化の試み
アンリ・ポアンカレの非ユークリッド幾何学に対する見解
ユージン・ウィグナーによる数学の非合理的な有効性のアイデア
純粋な数学理論とその応用の例
結論

ピタゴラス派とプラトンの数学観

5世紀のギリシャのピタゴラス派は、数が生きている存在であり、普遍的な原理であると考えていました。彼らは、1という数、モナドがすべての他の数の生成者であり、すべての創造の源であると信じていました。プラトンは、数学的な概念が具体的であり、私たちの知識に関係なく宇宙自体と同じくらい現実的であると主張しました。

ユークリッドと数学法則の物理的な現れ

幾何学の父であるユークリッドは、自然自体が数学法則の物理的な現れであると信じていました。

レオポルト・クロネッカによる自然数の創造者である神への信仰

19世紀のドイツの数学者であるレオポルト・クロネッカは、神が自然数を創造したと信じ、すべての他のものは人間の仕事であると考えました。

デビッド・ヒルベルトによる数学の公理化の試み

数学者のデビッド・ヒルベルトの生涯にわたって、数学を論理的な構造として確立する動きがありました。ヒルベルトは、ユークリッドが幾何学で行ったように、数学全体を公理化しようとしました。彼や他の公理化に取り組んだ人々は、数学を深く哲学的なゲームだと見なしていましたが、それでもゲームであると考えていました。

アンリ・ポアンカレの非ユークリッド幾何学に対する見解

非ユークリッド幾何学の父の一人であるアンリ・ポアンカレは、双曲線や楕円曲線の曲率の非平面的な表面を扱う非ユークリッド幾何学の存在は、平面的な表面の長年の幾何学であるユークリッド幾何学が普遍的な真実ではなく、ある特定のゲームルールを使用した結果であるということを証明したと考えていました。

ユージン・ウィグナーによる数学の非合理的な有効性のアイデア

1960年、ノーベル物理学賞受賞者のユージン・ウィグナーは、「数学は人間によって発見された現実である」という考えを強く主張し、「数学の非合理的な有効性」というフレーズを作り出しました。ウィグナーは、純粋な数学理論が、物理現象を説明するための意図を持たずに、真空中で開発された理論が、数十年、あるいは数世紀後に、宇宙が常に機能していた枠組みとなることが多いことを指摘しました。