ルービックキューブ、数学、音楽の魅力的な関係：群論の視点

要約

本記事は、群論という抽象的な数学分野が、ルービックキューブのメカニクスや音楽の和音進行を説明する方法について探求します。群論は、4つの特定の規則または公理に従う要素の集合であり、操作は閉じていなければならず、括弧の位置を変えても結果が変わらず、一意の単位元が存在し、逆元は単位元を生成します。これらの公理により、ルービックキューブには43クインティリオンを超える置換があり、音楽における和音進行など、興味深い特性が生まれます。

群論の基礎

群論は、群を構成する特定の規則または公理のセットです。これらの群は、整数、ルービックキューブの面、音符など、何でもかんでもです。これらの公理により、グループの操作はグループの要素内に留まり、異なる括弧で単一のグループ操作を適用しても同じ結果が返され、一意の単位元が存在し、すべての要素にはグループ内の別の逆要素があることが保証されます。

ルービックキューブ：すべての公理を満たす群

ルービックキューブは、群論のすべての公理を満たす典型的な例です。ルービックキューブには、各面の行と列が各要素を構成するさまざまな置換または位置があります。グループの性質は、キューブ上で実行されるすべての操作が、そのグループの要素を返すことを意味します。ルービックキューブには43クインティリオンを超える置換があり、ランダムな組み合わせを使用して解くことは不可能です。

ルービックキューブを解くための群論

しかし、群論により、数学者はルービックキューブの解法を提供するアルゴリズムを作成することができました。キューブの回転を示す記号を使用して、数学者は各置換と操作に群論を適用し、キューブを効率的に解決します。この技術を使用することで、解決するためにすべての組み合わせを試す推測作業を回避できます。

音楽における群論：和音進行

群論は、ルービックキューブだけでなく、音楽理論でも重要です。音楽家は、逆転を使用して不協和音から調和に移行する和音進行を作成するために群論を使用します。たとえば、すべての12の音符を書き出して、縁取りをしてユニークな単位元を作成する縮小第7和音を作成できます。音楽家は、音符を逆転させることで和音の順序を操作し、その音のアイデンティティを失うことなく、音色を変えることができます。

結論

群論は、ルービックキューブを解決するための優れたフレームワークを提供し、ユニークな和音進行を作成するためにも役立ちます。ルービックキューブの膨大な組み合わせと和音進行の複雑さは、群論が数学の抽象的な分野の外でも適用される方法を示しています。問題解決におけるその応用は、エンジニアリング、コンピュータサイエンス、科学研究などの分野で有用となる可能性があります。結論として、ルービックキューブと音楽理論は、数学が私たちの周りの世界とどのように関係しているかを示す魅力的な関係を示しています。