ユークリッド幾何学の謎：平行公準と非ユークリッド幾何学の探求

要約

ユークリッドの『原論』は、定義と公準の集合からの証明の論理的な体系を提示した13巻の幾何学の書である。第5の公準、または平行公準は謎のままであり、その否定は非ユークリッド幾何学の発見につながった。この記事では、ユークリッドの平行公準、非ユークリッド幾何学、およびその応用について探求する。

第5公準：謎の種

Q：ユークリッドとは誰で、彼の数学への貢献は何ですか？
A：ユークリッドは紀元前300年頃にエジプトのアレクサンドリアに住んでいたギリシャの数学者である。彼は、多くの数学者の作品を構造化し補完するための、13巻の幾何学の書『原論』で知られている。ユークリッドの『原論』は、定義、共通概念、および公準の集合からの証明の論理的な体系を提示した。

Q：平行公準とは何で、他の4つの公準とはどう違うのですか？
A：平行公準は、ユークリッドの『原論』に記載された第5の公準です。最初の4つの公準とは異なり、平行公準は複雑な言い回しで書かれていました。それは、ある直線が横切線の同じ側の内角の和が2つの直角よりも小さい場合、その側で直線は最終的に交差し、したがって平行ではないことを述べています。より簡単に言えば、平面上の与えられた直線以外の任意の点を通る直線は、元の直線に平行な1本の新しい直線しか引くことができないことを意味します。

Q：数学者たちは平行公準に何をしたのでしょうか？また、なぜそれをしたのですか？
A：数世紀にわたって、多くの数学者が平行公準を他の4つから証明しようと試みましたが、失敗しました。その過程で、彼らは第5公準が真でない場合に論理的に何が起こるかを見ていました。これが、非ユークリッド幾何学という完全に異なる幾何学の分野を生み出しました。

非ユークリッド幾何学の出現

Q：非ユークリッド幾何学とは何であり、どのようにして出現したのですか？
A：非ユークリッド幾何学とは、特に第5公準に従わない幾何学を指します。平行公準の仮定が否定されると、2つの新しい幾何学の分野、双曲幾何学と楕円幾何学が生まれます。三角形の内角の和が180°未満の場合に双曲幾何学が発生し、180°を超える場合に楕円幾何学が発生します。これらの幾何学は、イブン・アル＝ハイサム