ユークリッドの第5公準：私たちの物語を育てる種

要約

ユークリッドの「原論」は、幾何学において最も影響力のある作品として知られていますが、第5公準は数世紀にわたって数学者を悩ませ、非ユークリッド幾何学の発見につながりました。これらの代替幾何学は、双曲幾何学や楕円幾何学を用いて説明され、地球の航行に役立ち、M.C.エッシャーの芸術に影響を与えました。ユークリッドがこれらの幾何学の存在を知っていたかどうかは不明ですが、第5公準の難解な言い回しは意図的であった可能性があり、進歩的な思考者たちが詳細を明らかにするように導いたのかもしれません。

ユークリッドの「原論」とは何ですか？
ユークリッドの第5公準とは何ですか？
数学者たちはどのようにして平行公準を証明しようとしましたか？
非ユークリッド幾何学とは何ですか？
非ユークリッド幾何学の実用的な応用は何ですか？
ユークリッドは非ユークリッド幾何学を知っていたのでしょうか？

はじめに

ユークリッドの「原論」は、これまでに存在した数学の中でも最も影響力のある作品の1つです。ヒポクラテス、エウドクソス、ピタゴラスなど、彼より前に多くの数学者たちが執筆したものをまとめたものです。ユークリッドは、定義、共通概念、そして彼の有名な5つの公準に基づく証明の論理的なシステムを開発しました。最初の4つの公準は簡単でしたが、第5公準は難解な言い回しであり、数世紀にわたって、他の4つの公準を用いて証明することができませんでした。第5公準は、異なる種類の幾何学を育てる種となり、非ユークリッド幾何学が生まれました。

Q&A

ユークリッドの「原論」とは何ですか？

ユークリッドの「原論」は、ヒポクラテス、エウドクソス、ピタゴラスなど、彼より前に多くの数学者たちが執筆したものをまとめたものです。ユークリッドは、定義、共通概念、そして彼の有名な5つの公準に基づく証明の論理的なシステムを開発しました。ユークリッドは、多くの数学者たちの仕事を構成し、補完しました。

ユークリッドの第5公準とは何ですか？

ユークリッドの第5公準は、他の4つとは異なります。与えられた直線上にない任意の点を通ると、元の直線に平行な新しい直線は1本だけ引くことができます。数学コミュニティはこの公準について悩んでおり、複雑な言い回しにより、ユークリッド以来、他の4つの公準を用いて証明することができませんでした。

数学者たちはどのようにして平行公準を証明しようとしましたか？

数世紀にわたって、多くの数学者たちは、他の4つの公準を用いてユークリッドの第5公準を証明しようと苦心しました。数学者たちは、第5公準が真でない場合に何が起こるかを問い始めました。これが代替幾何学の誕生につながり、非ユークリッド幾何学の発見につながりました。これらの代替幾何学は、イブン・アル＝ハイサム、オマル・ハイヤーム、ナーシルッディーン・アル＝トゥースィー、ジョヴァンニ・サッケリ、ヤーノシュ・ボライなどの知識人によって創造され、発展しました。平行公準を否定する調査は、完全な代替幾何学を生み出しました。