ユークリッドの神秘的な第五公準：非ユークリッド幾何学への入り口

要約

この記事では、ユークリッドの『原論』の神秘的な第五公準について探求します。この公準は、ある直線が他の二つの直線に落ちる場合、その直線が横切る二つの内角の和が二つの直角よりも小さい場合、その直線はその側面で交差し、したがって平行ではないというものです。数世紀にわたり、多くの数学者が他の四つの公準から平行公準を証明しようと試みましたが、それを行うことができませんでした。その過程で、彼らはユークリッド幾何学では説明できない世界を表す非ユークリッド幾何学を発見しました。

ユークリッドと彼の『原論』

紀元前300年ごろにエジプトのアレクサンドリアに住んでいたギリシャの数学者ユークリッドは、幾何学の父として知られています。彼の影響力のある作品『原論』は、幾何学だけで13巻にわたっています。『原論』では、ユークリッドはピタゴラス、エウドクソス、ヒポクラテスなど、彼の前に来た多くの数学者の仕事を構造化し、補完しました。ユークリッドは、定義、共通概念、および彼の有名な五つの公準から構成される証明の論理的システムを構築しました。

神秘的な第五公準

ユークリッドの公準のうち、4つは非常に単純でわかりやすいものです。たとえば、2つの点は直線を決定します。しかし、第五公準は私たちの物語を育てる種です。この神秘的な第五公準は、平行公準として知られています。最初の4つとは異なり、第五公準は非常に複雑な言い回しで表現されています。ユークリッドのバージョンは、ある直線が他の二つの直線に落ちる場合、その直線が横切る二つの内角の和が二つの直角よりも小さい場合、その直線はその側面で交差し、したがって平行ではないというものです。

数世紀にわたり、多くの数学者が他の四つの公準から平行公準を証明しようと試みましたが、それを行うことができませんでした。その過程で、数学史上最も優れた人々、イブン・アル＝ハイサム、オマル・ハイヤーム、ナーシルッディーン・アル＝トゥースィー、ジョヴァンニ・サッケリ、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・ガウス、ニコライ・ロバチェフスキーなどが、第五公準を否定することで論理的に何が起こるかを考え始めました。その結果、これらの幾何学が生まれ、非ユークリッド幾何学として知られるようになりました。

非ユークリッド幾何学

これらの異なる幾何学の詳細については、別のレッスンで取り上げますが、主な違いは、直線が構成される曲面の曲率に依存します。『原論』では、ユークリッドが宇宙を見るための一つの可能な方法を説明しただけであることが判明しました。それはあなたが見ているものの文脈によってすべてが異なることを意味します。平面の場合はある方法で振る舞いますが、正および負の曲面は非常に異なる特性を示します。

最初は、これらの代替幾何学は少し奇妙に見えましたが、すぐに私たちの周りの世界を同じように説明することができることがわかりました。地球上を移動するには楕円幾何学が必要であり、M.C.エッシャーの芸術の多くは双曲幾何学を展示しています。アルベルト・アインシュタインは、物質の存在に伴って空間時間が歪む方法を一般相対性理論の一部として説明するために、非ユークリッド幾何学を使用しました。

ユークリッドの遺産

ここでの大きな謎は、ユークリッドが彼の神秘的な公準を書いたときに、これらの異なる幾何学の存在について何らかの気づきがあったかどうかです。私たちはこの質問の答えを永遠に知ることはできませんが、彼が彼の分野を徹底的に理解していた偉大な知性であることを考えると、彼がその性質を全く知らなかったとは思えません。もしかしたら、彼は