ユークリッドの神秘的な公準：非ユークリッド幾何学の探求

概要

本記事では、幾何学の父であるユークリッドと彼の有名な著作『原論』について、彼の5つの公準、特に神秘的な平行公準に焦点を当て、非ユークリッド幾何学の発見につながった経緯を探求します。

ユークリッドと『原論』

ユークリッドは、紀元前300年頃にエジプトのアレクサンドリアに住んでいたギリシャの数学者で、幾何学の父として知られています。彼の最も有名な著作である『原論』は、ピタゴラス、エウドクソス、ヒポクラテスなど、彼より前に活躍した多くの数学者の業績を構造化し、補完するための13巻の幾何学の論文集です。『原論』は、定義、共通概念、およびユークリッドの5つの公準から構成された証明の論理システムです。

5つの公準

ユークリッドの5つの公準は、彼の幾何学システムの基礎です。そのうち4つは簡単で明快なもので、「2点は1本の直線を決定する」といったものです。しかし、第5の公準はより複雑で神秘的です。

神秘的な平行公準

第5の公準である平行公準は、平面上の与えられた直線上にない任意の点を通る1本の新しい直線が、元の直線と平行であることを示しています。数世紀にわたり、多くの数学者が他の4つの公準から平行公準を証明しようと試みましたが、それをすることができませんでした。その過程で、第5の公準が実際に真でない場合に論理的に何が起こるかを見るようになりました。

非ユークリッド幾何学

数学史上最も偉大な思想家のいくつかは、この問いに答えるために平行公準を否定することを試み、非ユークリッド幾何学として知られる完全に異なる幾何学が生まれました。これらの幾何学は最初は少し奇妙でしたが、すぐに私たちの周りの世界を説明するのに同じくらい適していることがわかりました。地球を航行するには楕円幾何学が必要であり、M.C.エッシャーの芸術の多くは双曲幾何学を表しています。アルバート・アインシュタインは、一般相対性理論の一部として、物質の存在によって空間時間が歪む様子を説明するために非ユークリッド幾何学を使用しました。

ユークリッドの遺産

ここでの大きな謎は、ユークリッドが彼の神秘的な公準を書いたときに、これらの異なる幾何学の存在について何らかの気づきがあったかどうかです。私たちはこの質問の答えを永遠に知ることはできませんが、彼がその分野を理解する偉大な知性であったことから、彼がその性質を全く知らなかったとは思えません。もしかしたら彼は知っていて、平行公準を興味を持った人々が詳細を掘り下げるように意図的に書いたかもしれません。もしそうなら、彼はおそらくかなり喜んでいるでしょう。これらの発見は、自分たちが教えられたことから抜け出し、既成概念を一旦置いておいて新しいことを考えることができる才能ある、進歩的な思想家なしには成し得なかったものです。