ピート・モンドリアンの絵画から着想を得た数学的課題

概要

この記事では、オランダの画家ピート・モンドリアンの抽象的な長方形の絵画に着想を得た数学的課題について探求します。この課題は、各長方形がサイズが異なる完全に重ならない長方形で正方形のキャンバスを完全に覆うことを含みます。目標は、最大の長方形の面積と最小の長方形の面積の差を取ることで、できるだけ低いスコアを得ることです。

課題

オランダの画家ピート・モンドリアンの抽象的な長方形の絵画は、数学者たちに二つの課題を与えました。まず、完全に重ならない長方形で正方形のキャンバスを完全に覆わなければなりません。すべての長方形はユニークでなければならないため、1xを使用した場合、他の場所では4×1を使用することはできません。しかし、2×2の長方形は問題ありません。次の課題は、最大の長方形の面積から最小の長方形の面積を引くことです。その結果が私たちのスコアであり、目標はできるだけ低いスコアを得ることです。

小さなキャンバス

4xのキャンバスを分割してみましょう。半分に分割することはできません。そうすると2つの2xの長方形ができてしまいます。しかし、次に近いオプションである3×4と1xが機能します。次に、最大の長方形の面積から最小の長方形の面積を引きます。その結果が私たちのスコアであり、目標はできるだけ低いスコアを得ることです。その時は低いスコアを目指さなかったため、もっと良くできるはずです。1×4を保持しながら、3×4を3×3と3xに分割しましょう。すると、スコアは9-になります。まだ最適ではありませんが、改善されました。

大きなキャンバス

前回と同様に、キャンバスをおおよそ2つに分割して始めましょう。それにより、40の面積を持つ5×8の長方形と24の面積を持つ3×8の長方形が得られ、スコアは1になります。それはかなり悪いです。5×8を5×5と5×3に分割すると、スコアは1になります。もう少し良くなりましたが、まだ良くありません。最大の長方形を分割し続けることもできますが、それではますます小さな長方形ができ、最大と最小の間の範囲が増加します。本当に欲しいのは、すべての長方形が面積値の小さな範囲内に収まることです。

最も低いスコアを見つける

前回のスコアを改善するために、9以下の範囲の値を選択し、6に合計することを試みることができます。1×13や2×9のような長方形はキャンバスには収まらないため、いくつかの値が除外されていることに気付くでしょう。また、3や5のような奇数の面積を持つ長方形を使用する場合、偶数の合計を得るために別の奇数の値の長方形を使用する必要があることに気付くかもしれません。それを考慮して、どの値が機能するか見てみましょう。面積20以上から始めると、すぐに制限を超えてしまいますが、14から18の範囲の長方形を使用して64に到達できます。しかし、それらを収める方法はありません。2×7を使用すると、幅1の長方形で埋める必要があります。もっと低くすると、次に機能する範囲は8から1で、3×3の正方形を除外します。今回は、ピースが収まります。それはスコアが1です。もっと良くできますか？いいえ。2×7と1×8を捨てて、3x、1x、1xを置き換えることで同じスコアを得ることができます。しかし、リストを下げると、数字が小さくなりすぎて、キャンバスをカバーするためにより幅広いサイズの長方形が必要になり、スコアが増加します。

結論

ピート・モンドリアンの絵画から着想を得た課題は、空間的推論と数学的問題解決の魅力的なエクササイズです。最も低いスコアを見つけるためのトリックや公式はありませんが、直感や創造性が大きく貢献します。また、大きなグリッドに対しては、専門の数学者たちは最も低いスコアを見つけたかどうか確信していません。したがって、4x、10×1、または32×32のキャンバスで試して、何ができるか見てみましょう。