ピタゴラスの定理：幾何学の基本的な法則

要約

ピタゴラスの定理は、直角三角形において、一辺の二乗ともう一方の辺の二乗の和が斜辺の二乗に等しいという幾何学の基本的な法則です。この定理は1000年以上前から知られ、安定した建物の設計や建設、GPS座標の三角測量に実用的な応用があります。定理には、素晴らしいものから曖昧なものまで、350以上の証明があります。

はじめに

ピタゴラスの定理は、建設、工学、航法などに実用的な幾何学の基本的な法則の1つです。このQ＆Aでは、定理の起源、真実であることを知る方法、およびこの定理に存在する異なる証明について探求します。

ピタゴラスの定理の起源

ピタゴラスの定理は、6世紀BCに生きたギリシャの哲学者兼数学者ピタゴラスにちなんで名付けられました。しかし、証拠からは、定理が1000年以上前に知られていたことが示唆されています。紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板には、定理を満たす15組の数が記載されており、古代エジプトの測量士は、そのような数の1つを使用して正方形の角を作った可能性があります。最も古い知られているインドの数学的テキストは、紀元前800年から600年の間に書かれ、正方形の対角線に張られたロープが元の正方形の2倍の大きさの正方形を作り出すことを述べています。その関係は、ピタゴラスの定理から導き出すことができます。

どのようにして定理が真実であるかを知るのか？

ピタゴラスの定理は、平面上のすべての直角三角形について真実であり、既存の数学的な規則と論理を使用して証明することができます。一つの古典的な証明では、ピタゴラス自身に帰されることが多く、証明の戦略として「並び替えによる証明」と呼ばれる方法を使用します。別の証明は、ギリシャの数学者ユークリッドから来ており、12歳のアインシュタインによってほぼ2000年後に偶然発見されました。別の証明は、タイル敷きという、繰り返しの幾何学的なパターンを使用します。

ピタゴラスの定理の異なる証明

並び替えによる証明：
この証明では、辺の長さがaとb、斜辺の長さがcである4つの同一の直角三角形を取り、その斜辺が傾いた正方形を形成するように配置します。その正方形の面積はcの2乗です。次に、三角形を2つの長方形に並び替え、両側に小さな正方形を残します。それらの正方形の面積はそれぞれaの2乗とbの2乗です。図形の総面積は変わらず、三角形の面積も変わりません。したがって、1つの空のスペースであるcの2乗は、他の空のスペースであるaの2乗とbの2乗と等しくなければなりません。
対応する角度による証明：
この証明は、1つの直角三角形を2つの三角形に分割し、2つの三角形の対応する角度が同じ場合、その辺の比率も同じであるという原理を使用します。これらの3つの類似した三角形について、それぞれの辺の式を書き、項目を並べ替え、2つの方程式を加算して単純化すると、aの2乗とbの2乗がcの2乗に等しいことがわかります。
タイル敷きによる証明：
この証明は、繰り返しの幾何学的なパターンを使用して、定理がどのように機能するかを示します。各青い枠線で囲まれた正方形には、正方形の暗い灰色と明るい灰色の正方形が正確に1つずつ含まれているため、ピタゴラスの定理が再び証明されます。