ヒッパソスの神話：古代ギリシャにおける無理数

要約

古代ギリシャにおいて、ピタゴラス派の数学者たちは、宇宙のすべてが数の比率として表現される永遠の法則に従うと信じ、数に対して宗教的な崇敬を抱いていました。しかし、ヒッパソスは無理数の存在を発見し、この調和のとれた法則を破るものでした。彼は2の平方根を2つの整数の比率として表現することができず、それが有理的ではないと結論づけました。この発見は数学を革命化しましたが、神々は彼が彼らの神聖な法則に反することで罰を与えたと噂されています。

はじめに
ピタゴラス派の数学者とは
ピタゴラスの定理とは
有理数とは
無理数とは
ヒッパソスはどのようにして無理数の存在を発見したのか
矛盾証明とは
無理数は数直線上でどのように表されるか
ヒッパソスの発見の意義とは
まとめ

はじめに

ギリシャ神話において、ヒッパソスは神々によって死に至る罰を受けた哲学者とされています。しかし、彼の違反行為は殺人や冒涜ではなく、無理数の発見でした。この数は、2つの整数の比率として表現することができず、宇宙のすべてが数の比率として表現されるというピタゴラス派の根本的な信念に反していました。

ピタゴラス派の数学者とは

ピタゴラス派の数学者は、紀元前6世紀から5世紀にかけて古代ギリシャで活躍した学者のグループです。彼らは、数が宇宙の構成要素であり、宇宙論や形而上学、音楽や道徳などすべてが数の比率として表現される永遠の法則に従うと信じていました。この信念は彼らの世界観全体に中心的なものであり、有理数だけが存在すると信じていました。

ピタゴラスの定理とは

ピタゴラスの定理は、直角三角形の3辺の関係を表す数学の基本原理です。この定理によれば、直角三角形の2辺の二乗の和は、斜辺の二乗に等しいということになります。この定理は、ピタゴラス自身にちなんで名付けられました。ピタゴラスは、古代ギリシャの有名な数学者であり、ピタゴラス派の創始者でもあります。

有理数とは

有理数とは、2つの整数の比率として表現できる数のことで、分数の形で表されます。分数は、正の数でも負の数でも構いませんが、分母は0になることはありません。たとえば、5は5/1として表現でき、0.5は1/2として表現できます。0.25のような無限に続く小数も、1/4として表現できます。

無理数とは

一方、無理数とは、2つの整数の比率として表現できない数のことで、非循環的かつ無限に続く小数で表されます。最も有名な無理数は2の平方根で、2つの整数の比率として表現することができません。

ヒッパソスはどのようにして無理数の存在を発見したのか

ヒッパソスは、2の平方根を2つの整数の比率として表現する問題によって、無理数の存在を発見しました。ピタゴラス派の信念によれば、すべての数は整数の比率として表現できるとされていました。ヒッパソスは、簡約分数p/qとして比率を表現することを仮定して始めました。ここで、pとqは共通の因数を持たない整数です。彼は、両辺をqで掛けて2乗し、矛盾が生じることを発見しました。pの2乗は偶数でなければならず、つまりpも偶数でなければならなかったのです。しかし、pが偶数である場合、qも偶数でなければならず、pとqに共通の因数がないという仮定に反します。したがって、比率p/qは存在しないため、2の平方根は有理数ではありませんでした。