ヒッパソスと無理数の発見の神話的な物語

要約

この記事では、無理数を発見したピタゴラス派数学者の哲学者であるヒッパソスの物語を探求します。ピタゴラス派は、数が宇宙の構成要素であり、すべてが数の比率として説明できる永遠のルールに従うと信じていました。しかし、ヒッパソスはこのルールに反する数を発見しました。彼はそれを2つの整数の比率として表現できなかった無理数として証明しましたが、神々は反論されることを好まなかったのです。整数の比率として無理数を表現できなくても、私たちは数直線上でいくつかの無理数を正確にプロットすることができます。

ピタゴラス派数学者

ヒッパソスは、数に対する信仰心を持つピタゴラス派数学者の哲学者でした。彼らは、数が宇宙の構成要素であり、すべてが数の比率として説明できる永遠のルールに従うと信じていました。

無理数の発見

ピタゴラス派は、どんな数でも比率として書けると信じていました。しかし、ヒッパソスは、存在してはいけない調和のとれたルールに反する数を発見しました。彼は2つの整数の比率として表現できない無理数を発見しました。

無理数の2の平方根の証明

ヒッパソスは、2の平方根を2つの整数の比率として表現しようとしましたが、うまくいきませんでした。彼は、2の平方根が2つの整数の比率として表現できるというピタゴラス派の世界観が真実であると仮定し、それをpとqとラベル付けしました。2の平方根が有理数でないことを証明するために、p/qが存在しないことを証明する必要がありました。彼は、方程式の両側にqをかけ、両側を2乗することで、pが偶数であることを証明しました。これは、pが別の整数の2倍として表現できることを意味し、最初の主張と矛盾します。したがって、彼はそのような比率が存在しないと結論づけました。

数直線上での無理数のプロット

無理数を整数の比率として表現できなくても、数直線上でいくつかの無理数を正確にプロットすることができます。たとえば、2つの辺が1ユニットの直角三角形を作成し、その斜辺の長さが2の平方根である直角三角形を形成することができます。斜辺は直線に沿って延長することができます。その長さを持つもう1つの直角三角形を作成し、その斜辺は2の平方根に等しく、直線に沿って延長することができます。

結論

ヒッパソスの無理数の発見は、数学を革命的に変えました。神々が反論されることを好まなかったにもかかわらず、私たちは不可能なことを探求することを恐れてはいけません。整数の比率として無理数を表現できなくても、数直線上でいくつかの無理数を正確にプロットすることができ、それによってその特性をよりよく理解することができます。