ヒッパソスと無理数の発見の物語

要約

この記事では、ピタゴラス数学者と呼ばれるグループに属する哲学者で数学者のヒッパソスの物語を探求します。彼は無理数の存在を発見し、宇宙のすべてが数の比率として表現できるというピタゴラス信念に反するものでした。ヒッパソスが2の平方根が無理数であることを証明したことは、ピタゴラス派によって犯罪と見なされ、伝説によれば神によって罰せられました。しかし、彼の発見は数学を革新し、不可能性の探求の道を開きました。

数の力に対するピタゴラスの信念

ヒッパソスは、数が宇宙の構成要素であると信じるピタゴラス数学者の一員でした。彼らは、宇宙論や形而上学から音楽や道徳まで、すべてが数の比率として表現される永遠の法則に従うと信じていました。したがって、どんな数でもそのような比率で表すことができました。例えば、5は5/1として表すことができ、0.5は1/2として表すことができました。πのような無限に続く10進数も、22/7や355/113として正確に表すことができます。これらすべてが現在私たちが有理数と呼ぶものです。

無理数の発見

ヒッパソスは、数の調和を信じるピタゴラス派の信念を破る数、すなわち2の平方根を発見しました。ピタゴラスの定理によると、一辺が1ユニットの正方形の対角線の長さは2の平方根になります。しかし、ヒッパソスはこれを2つの整数の比率として表現することができませんでした。彼は諦めずに、それができないことを証明することにしました。

ヒッパソスの証明とピタゴラス派の反応

ヒッパソスは、ピタゴラスの世界観が真実であり、2の平方根が2つの整数の比率として表現できると仮定しました。比率が最も単純な形に簡約されたと仮定すると、pとqには共通の因数がない必要がありました。2の平方根が有理数でないことを証明するために、ヒッパソスはp/qが存在しないことを証明する必要がありました。彼は両辺にqを掛け、両辺を2乗することで、p^2が偶数である方程式を得ました。pが奇数であればそれは真ではありませんので、pも偶数である必要があります。したがって、pは2をかけた整数aとして表すことができます。これを方程式に代入して簡略化すると、q^2は2をかけたa^2になります。再び、2をかけた任意の数は偶数になるため、q^2は偶数でなければなりません。したがって、qも偶数で、pとqが両方偶数であるため、共通の因数2があることになり、最初の文が矛盾することになります。ヒッパソスは、そのような比率が存在しないと結論づけました。このような証明は矛盾による証明と呼ばれます。

ピタゴラス派は、ヒッパソスの発見に不満を持ち、伝説によれば、彼は無理数の存在を明らかにした罪で神によって罰せられました。

無理数の意義

ヒッパソスの発見は数学を革新し、不可能性の探求の道を開きました。無理数は整数の比率として表現することはできませんが、それでも正確で意味があります。例えば、2の平方根は、一辺が1ユニットの直角三角形の斜辺の長さです。同様に、πは常に円周と直径の比率であり、22/7や355/113のような近似値は正確にπに等しくなることはありません。