ケーニヒスベルクの七つの橋の数学的謎

要約

本記事では、七つの橋で有名な中世ドイツの都市、ケーニヒスベルクの物語と、些細な謎が新しい数学分野の出現につながった経緯について探求します。数学者レオンハルト・オイラーの業績に深く踏み込み、彼がグラフ理論を発明して、七つの橋を一度だけ渡ることができるかどうかの問題を解決したことを紹介します。オイラーの解決策は、ケーニヒスベルクのパズルを解決するだけでなく、新しい数学分野を生み出しました。

ケーニヒスベルクの地理

ケーニヒスベルクは、プレーゲル川の両岸に広がる中世ドイツの都市で、中央には2つの大きな島がありました。島々は、7つの橋で互いに結ばれ、奇妙な地理的特徴を持つユニークな都市でした。

七つの橋の謎

近隣の町の市長になる数学者カール・ゴットリーブ・エレは、ケーニヒスベルクの島と橋に魅了され、数学者たちを長年悩ませた質問を投げかけました。「一度以上渡らずに全ての7つの橋を渡るにはどのような経路を取ればよいか？」答えは不可能に思われましたが、この質問が新しい数学分野の出現につながりました。

グラフ理論の出現

カールは、この問題に対する助けを数学者レオンハルト・オイラに求めました。オイラは最初、この問題が数学とは何の関係もないと思っていましたが、考えれば考えるほど、何かがあると気づきました。オイラーの解決策は、まだ存在しなかった一種の幾何学、彼が「位置の幾何学」と呼んだもの、現在はグラフ理論として知られています。

オイラーの解決策

オイラーの最初の洞察は、島や川岸に入ったり出たりする経路は実際には問題ではないということでした。したがって、地図は単純化され、4つの陸地がそれぞれ1つの点、現在私たちがノードと呼ぶもので表され、橋を表す線またはエッジで接続されます。この単純化されたグラフにより、数学者は各ノードの次数、つまり各陸地に接する橋の数を簡単に数えることができました。オイラーはこの証明を使用して、2つ以上のノードを持つすべてのグラフに適用される一般的な理論を形成しました。

オイラー路の作成

エッジを1度だけ訪れるオイラー路は、2つの奇数次数のノードが正確にある場合、つまり他のすべてが偶数の場合、可能です。その場合、始点は1つの奇数ノードで、終点はもう1つの奇数ノードです。すべてのノードが偶数次数の場合、オイラー路は同じ場所で始まり、止まるため、それはオイラーサーキットと呼ばれます。

ケーニヒスベルクの遺産

ケーニヒスベルクでオイラー路を作成するには、1つの橋を単に取り除くだけです。しかし、第一次世界大戦中にソビエト空軍が市の橋2つを破壊したため、歴史は自分自身のオイラー路を作成しました。これにより、オイラー路が簡単に可能になりました。もっとも、それは彼らの意図ではなかったでしょう。これらの爆撃はケーニヒスベルクをほぼ壊滅させ、後にロシアのカリーニングラード市として再建されました。ケーニヒスベルクと彼女の7つの橋はもはや存在しませんが、この些細な謎が新しい数学分野の出現につながったことで、歴史に残ることになりました。

結論

ケーニヒスベルクの七つの橋の物語は、数学が最も些細な問題さえ解決する力を持つことを強調する魅力的なものです。オイラーのグラフ理論の発明は、ケーニヒスベルクのパズルを解決するだけでなく、コンピューターサイエンスからソーシャルネットワークまで、広範囲にわたる分野に深い影響を与えた新しい数学分野を生み出しました。