グループ理論がルービックキューブをピアノのように演奏するのを助ける方法

概要

この記事では、抽象的な数学的分野であるグループ理論が、ルービックキューブを理解し、ピアノのように演奏するのを助ける方法について探求します。グループとは、4つの特定のルールまたは公理に従う要素の集合であり、これらのルールは、数値やルービックキューブを含むさまざまなオブジェクトに適用できます。ルービックキューブの置換のグループを分析することにより、それを解決するための一連の動きを決定することができます。グループ理論はまた、音楽に深く組み込まれており、作曲家がコードを操作し、調和のとれた進行を作り出すのを助けることができます。

グループとは何か？

数学において、グループとは、4つの特定のルールまたは公理に従う特定の要素の集合です。最初の公理は、すべてのグループ操作は、グループ要素に制限される必要があるということです。第二の公理は、単一のグループ操作を行うときに、括弧をどこに置いても、同じ結果を得ることができるということです。第三の公理は、すべての操作に対して、恒等元と呼ばれるグループの要素が存在するということです。第四の公理は、すべてのグループ要素には、グループ内にある逆要素が存在するということです。

ルービックキューブにグループ理論を適用する

ルービックキューブは、前述のすべての公理を満たすグループと考えることができます。各位置は置換と呼ばれ、グループが持つ要素が多いほど、可能な置換が多くなります。ルービックキューブは43クインティリオンを超える置換を持っているため、ランダムに解決することは実用的ではありません。しかし、グループ理論を使用することで、キューブを分析し、解決のための一連の動きを決定することができます。ほとんどの解決者は、回転を示すためにグループ理論の表記法を使用します。

音楽におけるグループ理論

グループ理論は、音楽にも深く組み込まれています。コードを視覚化する方法の1つは、すべての12の音符を書き出して、それらの中に正方形を描くことです。どの音符から始めてもかまいませんが、トップにあるCを使用しましょう。その結果得られるコードは、これらの4つの音符で構成される減7コードと呼ばれます。それに対して行うことができる操作は、最下部の音符をトップにシフトすることで、それを反転と呼びます。各反転はコードの音を変えますが、それは常にC減7であることに変わりはありません。作曲家は、コードのシーケンスを操作し、ブロック、不自然な進行を避けるために反転を使用します。

まとめると、グループ理論は、数学以外の分野にも応用できる強力なツールです。それは、ルービックキューブのようなパズルを理解し、解決することができ、音楽において調和のとれた進行を作り出すことができます。基本的なグループのルールを理解することにより、さまざまなオブジェクトにそれを適用し、新しい洞察や解決策を発見することができます。