クルト・ゲーデルの発見が数学を永遠に変えた

概要

20世紀初頭にオーストリアの論理学者クルト・ゲーデルが発見したことは、数学的証明の限界に挑戦したものであった。彼の数学的システムの不完全性と証明できない真の文が存在することに関する発見は、数学やコンピュータ科学に重大な影響を与え、新しいイノベーションや探求の機会をもたらした。

数学的証明の限界

証明とは、公理を用いて数に関する文の真実を論理的に示す論証である。公理とは、数に関する否定できない文であり、これらの論証の構築のための基本的な要素を提供する。すべての数学的システム、基本的な算術から最も複雑な証明まで、公理から構築されている。古代ギリシャ以来、数学者たちはこのシステムを使用して、数学的な文を完全に正確に証明または反証してきた。

ゲーデルの発見

20世紀初頭、新たに発見された論理的なパラドックスが、数学的証明の確実性を脅かした。ゲーデルは、数学が問題を調査するための適切なツールであるとは自信がなかった。その解決策として、彼は数学的な文と方程式をコード番号に変換し、複雑な数学的アイデアを1つの数で表現することにした。これらの数字を使用して書かれた数学的な文は、数学のエンコードされた文についても何かを表していた。

自己言及的な数学的文

ゲーデルは、この方法を使って最初の自己言及的な数学的文「この文は証明できない」という方程式を書いた。数学的な文は真または偽である必要があるが、この文の真実性は不確かであった。もし偽である場合、文が証明できないことが証明される。しかし、数学的な文には証明がある場合、真でなければならない。この矛盾は、ゲーデルの文が偽であることはできず、したがってこの文が証明できないことが真であるということを意味する。

ゲーデルの不完全性定理

この発見は、証明できない真の文を含む、まったく新しい数学的文のクラスを導入するゲーデルの不完全性定理の発展につながった。真の文は、与えられた公理のセット内で証明可能または証明不可能であり、ゲーデルは証明不可能な真の文がすべての公理的システムに存在すると主張している。これは、数学を使用して完全に完全なシステムを作成することが不可能であることを意味し、常に証明できない真の文が存在するためである。

ゲーデルの発見の影響

ゲーデルの発見は、数学やコンピュータ科学に深い影響を与えた。すべての数学的主張が証明または反証されるという数学者たちの希望を打ち砕いた。今日、一部の数学者は、証明できない真の文を特定することに専念している。証明不可能な真の文の知識は、初期のコンピュータの重要なイノベーションのインスピレーションを与えた。