なぜマンホールの蓋は円形なのか：数学的理由

要約

この記事では、なぜマンホールの蓋が円形なのかを探求します。円は、並行な2本の線の間の距離を一定に保つ数学的な形状である定幅曲線であるため、円形が選ばれる理由があります。ルーロー三角形など、この性質を持つ他の形状も車輪として機能することができます。定幅曲線に関する数学者たちは、バルビエの定理などの定理を発展させています。この定理は、任意の定幅曲線の周長が直径のπ倍に等しいことを示しています。

円と正方形の幾何学

マンホールの蓋はよく円形であるため、どんな向きでも転がしてすんなりと設置することができます。しかし、円形を選ぶもう一つの理由は、正方形と比較した場合の幾何学的な理由があります。正方形が回転すると、2本の並行な線が最初に引き離され、その後再び接近します。しかし、円が回転すると、線は同じ距離を保ちます。これが円が定幅曲線と呼ばれる数学的な形状である理由です。

定幅曲線

定幅曲線は、向きに関係なく、2本の平行な線の間の距離を一定に保ちます。円はこの性質を持つ形状の1つですが、ルーロー三角形も同様にこの性質を持っています。ルーロー三角形を作るには、正三角形から始めて、2つの頂点を接する円の中心に1つの頂点を作ります。他の2つの頂点に対しても同じように円を描き、その重なる空間にルーロー三角形ができます。

ルーロー三角形

ルーロー三角形は、少しの工夫によって車輪として機能することができます。平行な線の間でルーロー三角形を回転させると、距離が変わりません。中点がほぼ円形の軌跡を描きながら転がされると、周囲の周長が角の丸い正方形を描き、三角形のドリルビットが正方形の穴を切り出すことができます。

定幅曲線の定理

数学者たちは、定幅曲線に関する定理を発展させています。バルビエの定理は、円だけでなく、任意の定幅曲線の周長が、直径のπ倍に等しいことを示しています。他の定理によれば、同じ幅を持つ定幅曲線がいくつかある場合、それらの周長はすべて同じであり、ルーロー三角形が最小の面積を持っています。無限の辺を持つルーロー多角形である円は、最大の面積を持っています。

定幅曲面

三次元空間では、ルーロー四面体など、定幅曲面を作ることができます。ルーロー四面体を作るには、四面体から始めて、各頂点から球を広げて、反対の頂点に触れるようにします。その後、それらが重なる領域だけを残します。定幅曲面は、平行な2つの面の間の距離を一定に保つため、床にルーロー四面体をいくつか置いて、板を滑らせても、まるで大理石のように滑らかに動かすことができます。