なぜほとんどのマンホールの蓋は丸いのか：その背後にある数学

概要

本記事では、形状と幾何学の魅力的な世界に深入りし、なぜほとんどのマンホールの蓋が丸いのかを明らかにします。ルーロー三角形を含む等幅曲線の概念を探り、並行する二つの平面の間の一定の距離を維持する方法を説明します。また、これらの形状から生じる数学的定理と、それらが工学において実用的な応用を持つ方法についても説明します。

等幅曲線

等幅曲線とは、二つの平行面の間の距離を一定に保つ形状のことです。他の形状とは異なり、回転すると距離が変化する正方形などとは異なり、等幅曲線は同じままです。最も一般的な等幅曲線は円であり、回転してもその直径を維持します。

ルーロー三角形

等幅曲線の別の例として、ルーロー三角形があります。ルーロー三角形を作るには、正三角形から始めて、他の2つの頂点に接する円を中心に作成します。同じように、他の2つの頂点を中心にして2つの円を描き、その結果得られる形状がルーロー三角形です。ルーロー三角形は、創造的な工学において、平行線の間を回転させて距離を変えずに移動できるため、車輪として有用です。

数学的定理

数学者たちは、等幅曲線に関連する定理を開発しました。バルビエの定理は、円だけでなく、どの等幅曲線でも、周囲長は直径のπ倍に等しいことを示しています。また、同じ幅を持つ等幅曲線がいくつかある場合、すべての周囲長は同じであり、ルーロー三角形が最小の面積を持つことを示す定理もあります。無限の数の辺を持つルーロー多角形である円は、最大の面積を持ちます。